公比 q · q = 1 的单列

等比数列与前 n 项和

从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一个非零常数，这样的数列叫做等比数列，那个常数是公比 $q$ 。比值要有意义，故各项都不为零； $q$ 本身也不为零，否则从第二项起全是零。

1 · 通项公式与增长形态

由 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ 逐项累乘得 $a_n = a_1 q^{n-1}$ ，指数上同样是 $n - 1$ 。通项是 $n$ 的指数式，图象上的点不再共线，而是沿指数曲线排布。

$q$ 的取值把形态分成四类，分类的依据是 $|q|$ 与 $1$ 的关系以及 $q$ 的符号：

$q > 1$ ：各项同号且绝对值递增， $a_1 > 0$ 时数列递增。
$0 < q < 1$ ：同号而绝对值递减，逐项贴近零但永不为零。
$q = 1$ ：常数列，此时它同时是公差为零的等差数列。
$q < 0$ ：相邻两项异号，数列在正负之间摆动， $|q| > 1$ 时摆幅越来越大。

图 1-1 · 上排点是

a_n

，下排点是前

n

项和

S_n

；

|q| < 1

时下排点贴近一条水平渐近线。可调首项与公比，越过

q = 1

与

q = 0

两处观察形态如何切换。

2 · 等比中项有两个

定义 2.1（等比中项） 若 $a$ 、 $G$ 、 $b$ 成等比数列，则 $G^2 = ab$ ，称 $G$ 为 $a$ 与 $b$ 的等比中项。

与唯一的等差中项不同，等比中项由 $G = \pm\sqrt{ab}$ 给出两个值，而且只在 $ab > 0$ 时存在。 $2$ 与 $8$ 的等比中项是 $4$ 与 $-4$ （数列 $2, -4, 8$ 的公比是 $-2$ ，同样合法）； $2$ 与 $-8$ 没有等比中项； $0$ 不能作等比中项，也不能作等比数列的任何一项。

core/seq.ts 的 geoMeans 因此返回一个数组而不是一个数：同号时给出两个值，异号或含零时给出空数组。返回单值的接口会把「有两个」这件事在类型层面就抹掉。

3 · 前 n 项和与 q = 1 的单列

错位相减给出求和公式。设 $S_n = a_1 + a_1q + \dots + a_1q^{n-1}$ ，两边乘 $q$ 后错开一位相减，中间各项两两抵消：

(1 - q)S_n = a_1 - a_1q^n \quad \Longrightarrow \quad S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \ne 1)

$q = 1$ 时分母为零，公式失效，此时数列是常数列， $S_n = na_1$ 。这是一处不能合并的分情形：不是为了严谨而加的脚注，而是公式在那一点上真的没有定义。含参数的题目里，「先讨论 $q = 1$ 」通常是第一步。

例 3.1 等比数列前 $n$ 项和 $S_n = 3^n - 1$ 时求公比。由 $a_1 = S_1 = 2$ 、 $a_2 = S_2 - S_1 = 8 - 2 = 6$ 得 $q = 3$ 。核对： $\frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3} = 3^n - 1$ ，与所给一致。

4 · 无穷递缩与闭式在 q → 1 处的相消

$|q| < 1$ 时 $q^n \to 0$ ，前 $n$ 项和收敛：所有项之和为 $\frac{a_1}{1 - q}$ 。 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2$ 、 $0.999\dots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ 都是这条式子的直接结果。 $|q| \ge 1$ 时 $q^n$ 不趋于零，级数发散。

公式在 $q = 1$ 处失效，而在 $q$ 贴近 $1$ 时它虽有定义却算不准：分子 $1 - q^n$ 与分母 $1 - q$ 同时趋于零，双精度下两者的有效数字先后被吃掉。取 $a_1 = 1$ 、 $n = 10$ 实测： $q = 1 + 10^{-9}$ 时闭式给出恰好的 $10$ ，而逐项累加得 $10.000000045$ ，差 $4.5 \times 10^{-8}$ ； $q = 1 + 10^{-13}$ 时闭式仍给 $10$ ，真值是 $10.0000000000045$ 。闭式在这一带静静地塌回了 $q = 1$ 的答案。

注 · geoSum 因此在 $|q - 1| < 10^{-8}$ 时改走级数展开：按 $t = q - 1$ 把 $\sum_{k=0}^{n-1} q^k$ 展成 $n + \binom{n}{2}t + \binom{n}{3}t^2 + \dots$ ，取到 $t^2$ 项即够—— $t < 10^{-8}$ 且 $n \le 10^4$ 时 $t^3$ 项的相对量级不足 $10^{-16}$ 。单测里两个版本并列：钉住「直算版本在这些取值上一律返回 $10$ 」，以及「展开版本与逐项累加在 $10^{-12}$ 内一致」。这条阈值挑的是 $10^{-8}$ 而不是更小的值，因为 $t$ 的平方项恰在此处降到双精度分辨率之下，再往下展开也无从体现。

5 · 参考文献

Geometric progression. Wikipedia. 等比数列的通项、求和与分情形。https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression
Geometric series. Wikipedia. 几何级数的收敛条件与和。https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
Loss of significance. Wikipedia. 相近数相减导致有效数字丢失。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance